가. 확률과 확률 분포
독립 사건
두 사건A와 B에서 한 사건의 결과가 다른 사건에 영향을 주지 않을때 A와 B를 독립사건이라 한다.
ex) A가 동전을 던져서 앞면이 나오는 사건일때, B가 주사위를 던져서 3이 나오는 사건
P(B|A) = P(B)
배반 사건
두 사건 A와 B에 대해서 교집합이 없는 경우
ex) A가 주사위에서 3보다 작은 눈(1,2,3)이 나오는 사건일때 B가 3초과인 눈(4,5,6)이 나오는 사건
확률 변수
무작위 실험을 했을때 발생할 수 있는 각각의 결과 값들을 표현 하는 변수
실험시 모든 경우의 수를 말한다.
ex) 동전을 던졌을때 나올 수 있는 결과는 앞면과 뒷면
확률분포
확률변수의 모든 값에 대하여 각 값이 발생할 수 있는 확률을 구하고 그 확률 값들의 분포를 말한다.
동전이나, 주사위등 경우의 수가 유한한 경우 이산형 확률 분포
100L에 담길 수 있는 물처럼 경우의 수가 무한한 경우 연속형 확률 분포라 한다.
이산형 확률 분포
확률 변수 x가 취할수 있는 값들의 수를 셀수 있는 변수
모든 확률들은 0과1사이 값을가지며, 각 사건의 확률의 합은 1이다.
ex) 동전을 던져 앞면 혹은 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2,1/2이다. 이를 더하면 1이 된다.
이산형 확률분포의 종류
베르누이 분포
확률분포중 가장 단순한 분포이지만 분류문제에서 널리 사용된다.
결과가 성공/실패등과 같이 두 가지 중 하나로만 나타내며 이러한 실험이나 시행을 베르누이 시행이라 한다.
ex) 시험에 합격/불합격할 확률
이항분포
베르누이 분포와 마찬가지로 단순한 분포이지만 분류문제에서 널리 사용된다.
n번의 베르누이 시행을 통해 k번 성공할 확률의 분포
ex) 하나의 동전을 3번 던져서 2번 앞면이 나올 확률
기하분포
성공확률이 p인 베르누이 시행에서 처음 성공이 나올 때까지 k번 실패할 확률(k+1번 시도할 확률)
ex) 동전을 던져서 3번째에 처음으로 앞면이 나올 확률
다항분포
이항분포가 확장된 개념으로 n번의 시행에서 각 시행이 3개 이상의 결과를 가질 수 있는 확률분포
ex) 주사위를 5번 던졌을 때 1의 눈이 1번, 2의 눈이 2번, 3의 눈이 3번 나올 확률
포아송 분포
단위 시간 또는 공간 내에서 발생할 수 있는 사건의 발생횟수에 대한 확률분포
ex) 책 5페이지 안에 3개의 오타가 있을때, 치킨을 먹다가 발견되는 머리카락 수
연속형 확률 분포
확률변수 X가 취할 수있는 값들의 수를 셀수 없는 경우
연속형 활률 변수에서는 확률밀도 함수의 아래 면적이 확률을 의미한다.
구간을 통해 확률을 계산해야한다.
연속형 확률 분포의 종류
균일 분포
확률변수 X가 취할 수 있는 모든 값에 대하여 같은 확률을 갖고있는 분포
정규분포
평균이 μ(뮤)이고, 표준편차가 σ(시그마) x의 확률밀도 함수로 일상생활에서 가장 흔히 볼 수 있다.
표준편차가 작을 수록 평균에 가장 많이 밀집해 있으며, 평균에서 멀어질수 록 빈도가 낮은 종모양 그래프이다.
대칭인 종 모양을 가지며, 평균과 중앙값은 같고 분포의 중앙에 위치한다.
- 왼쪽 이미지 기준 평균으로부터 오른쪽, 왼쪽으로 표준편차의 1배 내에 위치한다.
- 왼쪽 이미지 기준 평균으로부터 오른쪽, 왼쪽으로 표준편차의 2배 내에 위치한다.
- 왼쪽 이미지 기준 평균으로부터 오른쪽, 왼쪽으로 표준편차의 3배 내에 위치한다.
평균이0, 표준편차가 1인 특수한 정규분포를 표준 정규 분포라 한다.
T분포
표준정규 분포와 같이 평균이 0이고 좌우로 대칭인 분포이다.
표본의 수가 많아 질 수록 정규 분포와 모양이 같아지고 표본의 수가 적을 수록 그래프는 점점 옆으로 퍼진다.
표본수가 적은 30개 미만일 경우 정규 분포 대신 t분포를 사용하며, t분포는 표본의 수가 30개 이상이면 정규 분포와 비슷해진다. 따라서 표본수가 30개 이상이면 정규 분포를 사용한다.
T분포는 확률을 구할 때 사용하지 않고, 신뢰구간, 가설검정에서 활용 되고, 두집단의 평균이 동일한지 알고자 할때 검정통계량으로 활용된다.
*df = 자유도(Degree of Freedom)
카이제곱 분포
표준정규 분포를 따르는 n개의 확률변수들의 제곱의 합의 분포
모평균과 모분산이 알려지지 않은 모집단의 모분사에 대한 가설 검정에 사용되는 분포이다.
카이제곱 분표의 자유도는 표준경규 분포를 따르는 확률변수의 개수인 n이다.
교차 분석에 주로 사용된다.
두개 이상의 집단간의 동질성 검정을 위해 활용된다.
동질성 : 성분 구성비가 같은지 나타내는
ex) 상자 a와 상자 b에서 10개의 동전을 꺼낼때 a에서는 500원 9개 100원 1개, b상자에는 500원 1개 100원 9개가 나왔다고 할때, 상자 a와b는 동질성이 낮다라고 볼 술 있다.
F분포
서로 독립이며 자유도가 n1,n2인 두 카이제곱 분포를 각각의 자유도로 나눈뒤 다시 서로를 나눈 비율
자유도가 커질수록 정규분포에 가까워진다.
등분산 검정과 분산분석을 위해 활용된다.
등분산 검정 : 두 확률 분포의 분산이 같은지 다른지 검증하는 것
왼쪽의 그래프는 평균은 다르지만 분산은 동일하다. = 등분산이다.
오른쪽 그래프는 평균은 같지만 분산은 다르다. = 등분산이 아니다.
(등 = 같을 등)
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